12. ✰✰✰ Все стороны треугольника равны 1. Из середины одной стороны на две другие опустили перпендикуляры. Найдите расстояние между концами этих перпендикуляров. ( рис.)

Question

Вопрос:

12. ✰✰✰ Все стороны треугольника равны 1. Из середины одной стороны на две другие опустили перпендикуляры. Найдите расстояние между концами этих перпендикуляров. ( рис.)

Ответ:

Accepted Answer

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Краткое пояснение: Найдем расстояние между концами перпендикуляров, используя свойства равностороннего треугольника и теорему Пифагора.

Пусть ABC – равносторонний треугольник со сторонами, равными 1. Точка M – середина стороны AB. Из точки M опущены перпендикуляры MP на сторону AC и MQ на сторону BC. Нужно найти расстояние PQ.
Так как ABC – равносторонний, все его углы равны 60°.
Рассмотрим треугольник AMP. Угол ∠MAP = 60°, ∠APM = 90°, следовательно, ∠AMP = 30°.
В прямоугольном треугольнике AMP катет MP лежит против угла 30°, поэтому MP = 1/2 AM = 1/2 * 1/2 = 1/4.
Аналогично, в треугольнике BMQ угол ∠MBQ = 60°, ∠BQM = 90°, следовательно, ∠BMQ = 30°. Катет MQ лежит против угла 30°, поэтому MQ = 1/2 BM = 1/2 * 1/2 = 1/4.
Четырехугольник MPCQ – прямоугольник, так как углы ∠APM и ∠BQM прямые.
Теперь найдем AP. В треугольнике AMP по теореме Пифагора: AM^2 = AP^2 + MP^2. Отсюда AP^2 = AM^2 - MP^2 = (1/2)^2 - (1/4)^2 = 1/4 - 1/16 = 3/16. Следовательно, AP = √(3/16) = √3 / 4.
Так как MPCQ – прямоугольник, то PQ = MC. Найдем MC.
MC – высота равностороннего треугольника, проведенная к стороне AB. MC также является медианой, поэтому MC делит сторону AB пополам.
Высота в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле h = (a√3) / 2, где a – сторона треугольника. В нашем случае a = 1, поэтому MC = (1√3) / 2 = √3 / 2.
Следовательно, PQ = MC = √3 / 2.

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Grammar Ninja

Тайм-менеджмент уровня Бог: задача решена за секунды. Свобода!

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке

Ответ:

Похожие