15.★★☆ Через середины двух сторон треугольника провели прямую. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из всех вершин треугольника на эту прямую, равны.

Решение:

Доказательство:

1. Пусть дан треугольник ABC, M и N - середины сторон AB и BC соответственно.
2. MN - средняя линия треугольника ABC.
3. Опустим перпендикуляры из вершин A, B и C на прямую MN. Пусть это будут AA1, BB1 и CC1 соответственно.
4. Так как MN - средняя линия, она параллельна стороне AC.
5. Рассмотрим трапецию AA1CC1. MN - средняя линия трапеции.
6. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: MN = (AA1 + CC1) / 2.
7. Рассмотрим треугольники AMM1 и BN B1. Они подобны, так как углы при вершинах M и N прямые, и углы M1MA и N1NB равны как соответственные при параллельных прямых AA1 и CC1 и секущей AB.
8. Значит, MM1 = NN1.
9. Тогда AA1 + CC1 = 2MN.
10. BB1 = (AA1 + CC1) / 2, так как BB1 - средняя линия трапеции AA1CC1.
11. Следовательно, AA1 = CC1 = BB1.

Таким образом, перпендикуляры, опущенные из всех вершин треугольника на среднюю линию, равны.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что доказательство опирается на свойства средней линии и трапеции.

Доп. профит: Помни, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований.