Контрольные задания > 11. ☆☆☆ На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС опустили высоту СН. Биссектриса АЕ пересекает её в точке К. Докажите, что СЕ = СК.
Вопрос:

11. ☆☆☆ На гипотенузу АВ прямоугольного треугольника АВС опустили высоту СН. Биссектриса АЕ пересекает её в точке К. Докажите, что СЕ = СК.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: доказательство приведено ниже.

Краткое пояснение: Используем свойства биссектрисы и углов в прямоугольном треугольнике для доказательства равенства отрезков.
  1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть CH – высота, опущенная на гипотенузу AB, и AE – биссектриса угла A.
  2. Так как AE – биссектриса угла A, то ∠CAE = ∠BAE. Обозначим эти углы как α.
  3. В прямоугольном треугольнике ABC сумма острых углов равна 90°, то есть ∠A + ∠B = 90°. Следовательно, 2α + ∠B = 90°.
  4. Рассмотрим треугольник ACE. Сумма углов в треугольнике равна 180°, то есть ∠CAE + ∠ACE + ∠AEC = 180°. Значит, α + 90° + ∠AEC = 180°, следовательно, ∠AEC = 90° - α.
  5. Теперь рассмотрим треугольник AHC. Так как CH – высота, то ∠CHA = 90°. В треугольнике AHC: ∠HAC + ∠ACH = 90°, следовательно, ∠ACH = 90° - ∠HAC = 90° - 2α.
  6. Рассмотрим треугольник AKC. Найдем угол ∠AKC: ∠AKC = 180° - ∠CAK - ∠ACK = 180° - α - (90° - 2α) = 180° - α - 90° + 2α = 90° + α.
  7. Теперь найдем угол ∠EKC. Так как ∠AKC и ∠EKC смежные, то ∠EKC = 180° - ∠AKC = 180° - (90° + α) = 90° - α.
  8. Сравним углы ∠AEC и ∠EKC: ∠AEC = 90° - α и ∠EKC = 90° - α. Значит, ∠AEC = ∠EKC.
  9. Теперь рассмотрим треугольник CKE. В этом треугольнике ∠CEK = ∠EKC = 90° - α. Следовательно, треугольник CKE равнобедренный с основанием EK. Значит, CE = CK.

Ответ: доказательство приведено ниже.

Grammar Ninja

Пока другие мучаются, ты уже на финише. Время для хобби активировано

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей

ГДЗ по фото 📸

Похожие