Задание 7. Расстояние от точки до прямой

Дано: Точки A, B, C на клетчатой бумаге.

Найти: Расстояние от точки A до прямой BC.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую.

1. Определим координаты точек:

A = (1, 5)
B = (5, 1)
C = (7, 5)

2. Найдем уравнение прямой BC.

Уравнение прямой имеет вид \( y = mx + b \).

Найдем наклон (m) прямой BC:

\[ m = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{5 - 1}{7 - 5} = \frac{4}{2} = 2 \]

Теперь найдем b, используя координаты точки B (5, 1):

\[ 1 = 2 \cdot 5 + b \]

\[ 1 = 10 + b \]

\[ b = 1 - 10 = -9 \]

Уравнение прямой BC: \( y = 2x - 9 \), или \( 2x - y - 9 = 0 \).

3. Найдем расстояние от точки A (1, 5) до прямой 2x - y - 9 = 0.

Формула расстояния от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) :

\[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Здесь \( A = 2 \), \( B = -1 \), \( C = -9 \), \( x_0 = 1 \), \( y_0 = 5 \).

\[ d = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot 5 + (-9)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \]

\[ d = \frac{|2 - 5 - 9|}{\sqrt{4 + 1}} \]

\[ d = \frac{|-12|}{\sqrt{5}} \]

\[ d = \frac{12}{\sqrt{5}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{5} \):

\[ d = \frac{12\sqrt{5}}{5} \]

Альтернативное решение (по клеткам):

Построим прямоугольный треугольник с гипотенузой BC. Из точки A опустим перпендикуляр на прямую BC. Видно, что перпендикуляр проходит через 2 клетки по горизонтали и 4 клетки по вертикали, если бы прямая была горизонтальной или вертикальной. Нам нужно найти длину высоты.

Рассмотрим треугольник, образованный точками A, B и C. Его площадь можно найти как:

S = 1/2 * основание * высота.

Основание BC = \( \sqrt{(7-5)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \).

Площадь треугольника ABC можно найти, взяв основание AC (параллельно оси X) = 7-1 = 6. Высота к этому основанию = 5-1 = 4. Площадь = 1/2 * 6 * 4 = 12.

Теперь используем формулу площади через основание BC и высоту h (расстояние от A до BC):

12 = 1/2 * \( 2\sqrt{5} \) * h

12 = \( \sqrt{5} \) * h

h = 12 / \( \sqrt{5} \) = \( \frac{12\sqrt{5}}{5} \).

Ответ: 12√5 / 5

Поделись с друзьями