Высота цилиндра равна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Дано:

Высота цилиндра \( h = 8 \) см.

Радиус основания \( r = 5 \) см.

Расстояние от оси до плоскости сечения \( d = 3 \) см.

Найти:

Площадь сечения \( S_{сеч} \).

Решение:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра \( h \), а другая — хорде \( a \) в основании цилиндра.

Чтобы найти длину хорды \( a \), рассмотрим основание цилиндра (круг) и проведём хорду. Расстояние от центра круга (оси цилиндра) до этой хорды равно \( d \). Радиус круга равен \( r \).

Пусть \( M \) — середина хорды \( a \). Тогда \( OM = d \) (где \( O \) — центр круга), \( OA = r \) (где \( A \) — конец хорды), и \( AM = \frac{a}{2} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( OMA \). По теореме Пифагора:

\[ OA^2 = OM^2 + AM^2 \]\[ r^2 = d^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]\[ 25 = 9 + \frac{a^2}{4} \]\[ 25 - 9 = \frac{a^2}{4} \]\[ 16 = \frac{a^2}{4} \]\[ a^2 = 16 × 4 \]\[ a^2 = 64 \]\[ a = \sqrt{64} = 8 \] см.

Теперь найдём площадь сечения:

\[ S_{сеч} = h × a \]\[ S_{сеч} = 8 × 8 \]\[ S_{сеч} = 64 \] см².

Ответ: Площадь сечения равна 64 см².