Высота цилиндра равна 12 см, а радиус основания равен 10 см. Цилиндр пересечен плоскостью, параллельной его оси, так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости.

Дано:

Высота цилиндра \( h = 12 \) см.

Радиус основания \( r = 10 \) см.

Сечение — квадрат.

Найти:

Расстояние от оси до секущей плоскости \( d \).

Решение:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Стороны этого прямоугольника — высота цилиндра \( h \) и хорда \( a \) в основании.

В данном случае сечение — квадрат, значит, его стороны равны: \( h = a \).

По условию, \( h = 12 \) см, следовательно, сторона квадрата \( a = 12 \) см.

Теперь рассмотрим основание цилиндра (круг). Хорда \( a \) является стороной квадрата, полученного в сечении. Расстояние от оси цилиндра (центра круга) до этой хорды равно \( d \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом \( r \) (гипотенуза), расстоянием \( d \) (один катет) и половиной хорды \( \frac{a}{2} \) (другой катет).

По теореме Пифагора:

\[ r^2 = d^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]\[ 10^2 = d^2 + \left(\frac{12}{2}\right)^2 \]\[ 100 = d^2 + 6^2 \]\[ 100 = d^2 + 36 \]\[ d^2 = 100 - 36 \]\[ d^2 = 64 \]\[ d = \sqrt{64} = 8 \] см.

Ответ: Расстояние от оси цилиндра до секущей плоскости равно 8 см.