Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

Дано:

Осевое сечение — квадрат.

Диагональ квадрата \( d_{кв} = 20 \) см.

Найти:

а) Высоту цилиндра \( h \).

б) Площадь основания \( S_{осн} \).

Решение:

Если осевое сечение цилиндра — квадрат, то его высота \( h \) равна диаметру основания \( D \).

а) Диагональ квадрата связана со стороной \( a \) формулой \( d_{кв} = a\sqrt{2} \). В данном случае сторона квадрата — это и высота цилиндра \( h \), и диаметр основания \( D \).

\[ h = D = a \]\[ 20 = a\sqrt{2} \]\[ a = \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \] см.

Значит, высота цилиндра \( h = 10\sqrt{2} \) см.

б) Радиус основания \( r = \frac{D}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2} \) см.

Площадь основания цилиндра:

\[ S_{осн} = \pi r^2 \]\[ S_{осн} = \pi × (5\sqrt{2})^2 \]\[ S_{осн} = \pi × (25 × 2) \]\[ S_{осн} = 50\pi \] см².

Ответ: а) высота цилиндра равна \( 10\sqrt{2} \) см; б) площадь основания цилиндра равна \( 50\pi \) см².