Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм². Найдите радиус цилиндра.

Дано:

Высота цилиндра \( h = 10 \) дм.

Расстояние от оси до плоскости сечения \( d = 9 \) дм.

Площадь сечения \( S_{сеч} = 240 \) дм².

Найти:

Радиус цилиндра \( r \).

Решение:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, является прямоугольником. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра \( h \), а другая — хорде \( a \) в основании.

Площадь сечения равна произведению сторон: \( S_{сеч} = h × a \).

Из этого равенства найдём длину хорды \( a \):

\[ 240 = 10 × a \]\[ a = \frac{240}{10} = 24 \] дм.

Теперь рассмотрим основание цилиндра (круг). Хорда \( a \) имеет длину 24 дм. Расстояние от оси цилиндра (центра круга) до этой хорды равно \( d = 9 \) дм.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом \( r \) (гипотенуза), расстоянием \( d \) (один катет) и половиной хорды \( \frac{a}{2} \) (другой катет).

По теореме Пифагора:

\[ r^2 = d^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 \]\[ r^2 = 9^2 + \left(\frac{24}{2}\right)^2 \]\[ r^2 = 81 + 12^2 \]\[ r^2 = 81 + 144 \]\[ r^2 = 225 \]\[ r = \sqrt{225} = 15 \] дм.

Ответ: Радиус цилиндра равен 15 дм.