Вычислите значение выражения: $$\frac{a^{19} \cdot (b^4)^3}{(a \cdot b)^{12}}$$ при $$a=2, b=\sqrt{2}$$.

Сначала упростим выражение, используя свойство степени степени и свойства степеней при умножении и делении: $$\frac{a^{19} \cdot (b^4)^3}{(a \cdot b)^{12}} = \frac{a^{19} \cdot b^{4 \cdot 3}}{a^{12} \cdot b^{12}} = \frac{a^{19} \cdot b^{12}}{a^{12} \cdot b^{12}} = a^{19-12} \cdot b^{12-12} = a^7 \cdot b^0 = a^7 \cdot 1 = a^7$$ Теперь подставим значение $$a=2$$: $$a^7 = 2^7 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$$ Ответ: 128