Вб В треугольнике АВС, угол С= 60°. Внешний угол при вершине В = 120°. АМ- высота к стороне ВС. Найти угол А, Сторону АВ, если отрезок МС =6 см.

Решение:

1. Найдём угол В.

Внешний угол при вершине В равен \( 120^{\circ} \). Смежный с ним угол В равен \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

2. Найдём угол А.

Сумма углов треугольника АВС равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ} \]

\[ \angle A + 60^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle A + 120^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle A = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \]

Так как все углы треугольника равны \( 60^{\circ} \), треугольник АВС — равносторонний.

3. Найдём сторону АВ.

В равностороннем треугольнике все стороны равны: \( AB = BC = AC \).

АМ — высота к стороне ВС. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, поэтому она делит сторону ВС пополам. Однако, в условии сказано, что АМ — высота к стороне ВС, и дан отрезок МС = 6 см. Это означает, что точка М лежит на стороне ВС. Значит, BC = BM + MC. И поскольку АМ — высота, то \( \angle AMC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АМС. \( \angle C = 60^{\circ} \), \( \angle AMC = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \angle MAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. В нашем случае катет МС (6 см) лежит против угла \( \angle MAC = 30^{\circ} \).

Следовательно, гипотенуза \( AC = 2 \cdot MC = 2 \cdot 6 \text{ см} = 12 \text{ см} \).

Поскольку треугольник АВС равносторонний, то \( AB = AC \).

Ответ: Угол А = 60°, сторона АВ = 12 см.