В4. К окружности с центром в точке О проведены касательная АВ и секущая АО. Найдите радиус окружности, если АВ = 12 см, АО = 13 см.

Решение:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Следовательно, \( \angle OAB = 90° \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OAB \).

По теореме Пифагора: \( OA^2 + AB^2 = OB^2 \).

В данном случае \( OA \) — это радиус окружности (обозначим его \( r \)), \( AB = 12 \) см, \( OB \) — это гипотенуза, равная \( OA + \text{сегмент секущей} \).

Важно: в условии сказано, что проведена касательная AB и секущая AO. Это значит, что A - точка на окружности, O - центр, AB - касательная. Тогда OB - гипотенуза, OA - радиус, AB - касательная.

Исходя из этого, \( \angle OAB = 90° \).

\( OB^2 = OA^2 + AB^2 \).

У нас дано \( AB = 12 \) см, \( AO = 13 \) см. Если AO - это гипотенуза, тогда \( AO = 13 \), \( AB = 12 \), а радиус (например, OB) найти.

Но по условию, AO - это секущая, а AB - касательная. То есть, OB - это радиус, а AO - это расстояние от точки A до центра O.

Переосмыслим условие: Касательная AB к окружности с центром O. Точка A - точка касания. Тогда OA - радиус. Секущая AO в данном контексте непонятна, скорее всего, имеется в виду, что А - точка вне окружности, и от нее проведены касательная AB и секущая, пересекающая окружность в двух точках, одна из которых — O, а другая — какая-то еще. Но по рисунку явно видно, что O - центр, A и B - точки на окружности.

Будем исходить из рисунка и типичных задач:

Касательная AB к окружности с центром O. Точка касания — B. Тогда OB — радиус. \( \angle OBA = 90° \).

Секущая AO. Значит, A — точка вне окружности.

Если AB = 12 (касательная) и AO = 13 (секущая, расстояние от внешней точки до центра), то в прямоугольном \( \triangle OBA \):

\( OA^2 = OB^2 + AB^2 \)

\( 13^2 = OB^2 + 12^2 \)

\( 169 = OB^2 + 144 \)

\( OB^2 = 169 - 144 = 25 \)

\( OB = \sqrt{25} = 5 \) см. OB — радиус.

Ответ: 5 см.