12. В треугольнике АВС угол C равен 90°, СН – высота, AB=90, sin A = 2/3. Найдите длину отрезка АH.

В прямоугольном треугольнике АВС синус угла А равен отношению противолежащего катета (ВС) к гипотенузе (АВ).

$$sin A = \frac{BC}{AB}$$

$$ \frac{2}{3} = \frac{BC}{90}$$

$$BC = \frac{2 \cdot 90}{3} = 60$$

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора:

$$AC^2 = AB^2 - BC^2$$

$$AC^2 = 90^2 - 60^2 = 8100 - 3600 = 4500$$

$$AC = \sqrt{4500} = 30\sqrt{5}$$

В прямоугольном треугольнике АCH косинус угла А равен отношению прилежащего катета (AH) к гипотенузе (АС).

$$cos A = \frac{AH}{AC}$$

В прямоугольном треугольнике ABC косинус угла А равен отношению прилежащего катета (АС) к гипотенузе (АВ).

$$cos A = \frac{AC}{AB}$$

Следовательно,

$$\frac{AH}{AC} = \frac{AC}{AB}$$

$$AH = \frac{AC^2}{AB} = \frac{4500}{90} = 50$$

Ответ: 50