4. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВС: AD=3:5, BD=24 см. Найдите ВО и OD.

1. Рассмотрим треугольники BOC и DOA. У них ∠BOC = ∠DOA как вертикальные, ∠OBC = ∠ODA как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

2. Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{3}{5}$$.

4. Пусть ВО = 3x см, тогда OD = 5x см. Из условия BD = 24 см, следовательно, BO + OD = 24 см.

5. Получим уравнение:

$$3x + 5x = 24$$;

$$8x = 24$$;

$$x = 3$$.

6. Следовательно, ВО = 3 ∙ 3 = 9 (см), OD = 5 ∙ 3 = 15 (см).

Ответ: ВО = 9 см, OD = 15 см.