4. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаются в точке О, ВО:OD=2:3, AC = 25 см. Найдите АО и ОС.

1. Рассмотрим треугольники BOC и DOA. У них ∠BOC = ∠DOA как вертикальные, ∠OBC = ∠ODA как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

2. Следовательно, треугольники BOC и DOA подобны по двум углам (по первому признаку подобия треугольников).

3. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$$\frac{BO}{OD} = \frac{CO}{OA} = \frac{BC}{AD} = \frac{2}{3}$$.

4. Пусть ВО = 2x см, тогда OD = 3x см. Из условия AC = 25 см, следовательно, AO + OC = 25 см.

5. $$\frac{CO}{AO} = \frac{2}{3}$$ => $$CO = \frac{2AO}{3}$$.

6. $$AO + \frac{2AO}{3} = 25$$;

$$\frac{5AO}{3} = 25$$;

$$AO = \frac{25 \cdot 3}{5} = 5 \cdot 3 = 15$$.

7. $$OC = 25 - AO = 25 - 15 = 10$$.

Ответ: АО = 15 см, ОС = 10 см.