5. В ромбе сторона равна 15, одна из диагоналей – 27, а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 120°. Найдите площадь ромба.

**Решение:** 1. **Площадь ромба через диагонали:** Площадь ромба можно найти, зная длины его диагоналей, по формуле: (S = rac{1}{2}d_1d_2), где (d_1) и (d_2) - диагонали ромба. 2. **Находим вторую диагональ:** Пусть у нас известна диагональ (d_1 = 27). Чтобы найти вторую диагональ, рассмотрим треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Угол, лежащий напротив известной диагонали равен 120°, значит половина этого угла равна 60°. 3. **Применим теорему косинусов или синусов:** Обозначим половину известной диагонали как (x = rac{27}{2} = 13.5), а половину неизвестной как (y). Применим теорему косинусов к треугольнику со сторонами 15, (x) и (y): (15^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cdot cos(60°)) 4. **Упростим и решим уравнение:** (225 = (13.5)^2 + y^2 - 2 \cdot 13.5 \cdot y \cdot 0.5) (y^2 - 13.5y - (225 - 182.25) = 0) (y^2 - 13.5y - 42.75 = 0) 5. **Решим квадратное уравнение для (y):** (y = rac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}) (y = rac{13.5 ± \sqrt{(13.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42.75)}}{2}) (y = rac{13.5 ± \sqrt{182.25 + 171}}{2}) (y = rac{13.5 ± \sqrt{353.25}}{2}) (y = rac{13.5 ± 18.8}{2}) Берём положительное значение: (y = rac{13.5 + 18.8}{2} = rac{32.3}{2} = 16.15). 6. **Найдем вторую диагональ:** (d_2 = 2y = 2 \cdot 16.15 = 32.3). 7. **Вычислим площадь ромба:** (S = \frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 32.3 = 0.5 \cdot 27 \cdot 32.3 = 436.05). **Ответ:** Площадь ромба равна 436.05.