1. В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 90°, АВ = 20 см, высота AD равна 12 см. Найдите АС и cos C.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора: $$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$$ см.

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами: $$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC = \frac{1}{2} BC \cdot AD$$, $$AB \cdot AC = BC \cdot AD$$.

Выразим AC: $$AC = \frac{BC \cdot AD}{AB}$$.

Из подобия треугольников ABC и DBA (оба прямоугольные, ∠B - общий): $$\frac{AB}{BC} = \frac{BD}{AB}$$, $$BC = \frac{AB^2}{BD} = \frac{20^2}{16} = \frac{400}{16} = 25$$ см.

Тогда $$AC = \frac{25 \cdot 12}{20} = \frac{5 \cdot 12}{4} = 5 \cdot 3 = 15$$ см.

Косинус угла C в треугольнике ABC: $$cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0,6$$.

Ответ: АС = 15 см, cos C = 0,6