1. На рисунке 22 MN || AC. а) Докажите, что АВ BN = CB BM. б) Найдите МN, если АМ = 6 см, ВМ = 8 см, АС = 21 см.

а) Рассмотрим треугольники ABC и MBN. У них ∠B - общий, ∠BAC = ∠BMN (как соответственные при MN || AC). Следовательно, треугольники ABC и MBN подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $$\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{BN}$$, отсюда $$AB \cdot BN = CB \cdot BM$$.

б) Из условия АМ = 6 см, ВМ = 8 см, тогда АВ = АМ + ВМ = 6 + 8 = 14 см.

Из подобия треугольников ABC и MBN: $$\frac{AB}{MB} = \frac{AC}{MN}$$, $$MN = \frac{MB \cdot AC}{AB} = \frac{8 \cdot 21}{14} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 4 \cdot 3 = 12$$ см.

Ответ: 12 см