8. В правильной четырёхугольной призме ABCDA,B,C,D₁ известно, что АС₁=2ВС. Найдите угол между диагоналями DB, и СА. Ответ дайте в градусах.

В правильной четырехугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что AC₁ = 2BC.

Найдите угол между диагоналями DB₁ и CA₁.

Пусть сторона основания равна a, тогда BC = a.

AC₁ = 2a.

AC₁ = √(AC² + CC₁²) = √(2a² + CC₁²) = 2a.

Возведем обе части в квадрат: 2a² + CC₁² = 4a².

CC₁² = 2a².

CC₁ = a√2.

DB₁ = √(DB² + BB₁²) = √(2a² + 2a²) = √(4a²) = 2a.

CA₁ = √(AA₁² + AC²) = √(2a² + 2a²) = √(4a²) = 2a.

Рассмотрим проекции CA₁ и DB₁ на плоскость основания ABCD.

Проекция CA₁: CA

Проекция DB₁: DB

Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу, поэтому угол между ними 90°.

DB₁ = CA₁ => треугольник, образованный проекциями CA₁ и DB₁, является равнобедренным и прямоугольным.

Тогда угол между диагоналями DB₁ и CA₁ равен 60°.

Ответ: 60