5. В геометрической прогрессии (bn) bs + b = 8, by + b = 24. Най- дите b + by.

Решаем задачу про геометрическую прогрессию:

Логика такая: сначала выразим \(b_5\) и \(b_7\) через \(b_6\), а затем найдём их значения.

1. Записываем известные данные:

   \[ b_5 + b_6 = 8 \]

   \[ b_7 + b_6 = 24 \]

2. Выражаем \(b_5\) и \(b_7\) через \(b_6\) и \(q\):

   \[ b_5 = \frac{b_6}{q} \]

   \[ b_7 = b_6 \cdot q \]

3. Подставляем в уравнения:

   \[ \frac{b_6}{q} + b_6 = 8 \]

   \[ b_6q + b_6 = 24 \]

4. Выражаем \(b_6\) из второго уравнения:

   \[ b_6(q + 1) = 24 \]

   \[ b_6 = \frac{24}{q + 1} \]

5. Подставляем \(b_6\) в первое уравнение:

   \[ \frac{\frac{24}{q + 1}}{q} + \frac{24}{q + 1} = 8 \]

   \[ \frac{24}{q(q + 1)} + \frac{24}{q + 1} = 8 \]

   \[ \frac{24 + 24q}{q(q + 1)} = 8 \]

   \[ 24 + 24q = 8q(q + 1) \]

   \[ 24 + 24q = 8q^2 + 8q \]

   \[ 8q^2 - 16q - 24 = 0 \]

   \[ q^2 - 2q - 3 = 0 \]

6. Решаем квадратное уравнение:

   \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

   \[ q_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

   \[ q_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

7. Находим \(b_6\) для обоих случаев:

   • Если \(q = 3\), то \(b_6 = \frac{24}{3 + 1} = \frac{24}{4} = 6\)
   • Если \(q = -1\), то \(b_6 = \frac{24}{-1 + 1} = \frac{24}{0}\), что не имеет смысла.

   Итак, \(q = 3\) и \(b_6 = 6\).

8. Находим \(b_5\) и \(b_7\):

   \[ b_5 = \frac{b_6}{q} = \frac{6}{3} = 2 \]

   \[ b_7 = b_6 \cdot q = 6 \cdot 3 = 18 \]

9. Находим \(b_6 + b_7\):

   \[ b_6 + b_7 = 6 + 18 = 24 \]

10. Находим \(b_6 + b_5\):

    \[ b_6 + b_5 = 6 + 2 = 8 \]

Ответ: 8 и 24