1. В геометрической прогрессии √2 - 1; 1; ... найдите: а) знаменатель; б) четвёртый член; в) формулу п-го члена прогрессии; г) сумму пяти первых членов прогрессии.

Решаем задачу про геометрическую прогрессию:

Смотри, как это работает:

1. а) Находим знаменатель (q):

   Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, нужно разделить последующий член на предыдущий. В нашем случае:

   \[ q = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} \]

   Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \(\sqrt{2} + 1\):

   \[ q = \frac{1(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = \sqrt{2} + 1 \]

   Итак, знаменатель прогрессии равен \(\sqrt{2} + 1\).

2. б) Находим четвёртый член (b₄):

   Первый член прогрессии \(b_1 = \sqrt{2} - 1\), знаменатель \(q = \sqrt{2} + 1\). Используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии:

   \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

   Тогда четвёртый член:

   \[ b_4 = (\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)^{4-1} = (\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)^3 \]

   Сначала вычислим \((\sqrt{2} + 1)^3\):

   \[ (\sqrt{2} + 1)^3 = (\sqrt{2} + 1)^2 (\sqrt{2} + 1) = (2 + 2\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1) = (3 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1) \]

   \[ = 3\sqrt{2} + 3 + 4 + 2\sqrt{2} = 7 + 5\sqrt{2} \]

   Теперь найдём \(b_4\):

   \[ b_4 = (\sqrt{2} - 1)(7 + 5\sqrt{2}) = 7\sqrt{2} - 7 + 10 - 5\sqrt{2} = 3 + 2\sqrt{2} \]

   Итак, четвёртый член прогрессии равен \(3 + 2\sqrt{2}\).

3. в) Формула n-го члена прогрессии:

   Используем формулу для n-го члена геометрической прогрессии:

   \[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

   Подставляем \(b_1 = \sqrt{2} - 1\) и \(q = \sqrt{2} + 1\):

   \[ b_n = (\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)^{n-1} \]

4. г) Сумма пяти первых членов прогрессии:

   Используем формулу для суммы n первых членов геометрической прогрессии:

   \[ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \]

   Подставляем \(b_1 = \sqrt{2} - 1\), \(q = \sqrt{2} + 1\) и \(n = 5\):

   \[ S_5 = \frac{(\sqrt{2} - 1)((\sqrt{2} + 1)^5 - 1)}{\sqrt{2} + 1 - 1} = \frac{(\sqrt{2} - 1)((\sqrt{2} + 1)^5 - 1)}{\sqrt{2}} \]

   Сначала вычислим \((\sqrt{2} + 1)^5\):

   \[ (\sqrt{2} + 1)^5 = (\sqrt{2} + 1)^3 (\sqrt{2} + 1)^2 = (7 + 5\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 21 + 14\sqrt{2} + 15\sqrt{2} + 20 = 41 + 29\sqrt{2} \]

   Теперь найдём \(S_5\):

   \[ S_5 = \frac{(\sqrt{2} - 1)(41 + 29\sqrt{2} - 1)}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{2} - 1)(40 + 29\sqrt{2})}{\sqrt{2}} = \frac{40\sqrt{2} + 58 - 40 - 29\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{11\sqrt{2} + 18}{\sqrt{2}} \]

   Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{2}\):

   \[ S_5 = \frac{(11\sqrt{2} + 18)\sqrt{2}}{2} = \frac{22 + 18\sqrt{2}}{2} = 11 + 9\sqrt{2} \]

   Итак, сумма пяти первых членов прогрессии равна \(11 + 9\sqrt{2}\).

Ответ: а) \(\sqrt{2} + 1\); б) \(3 + 2\sqrt{2}\); в) \(b_n = (\sqrt{2} - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)^{n-1}\); г) \(11 + 9\sqrt{2}\)