4. Найдите значение переменной х, при котором числа х - 1, 2√x, x + 3 в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию.

Разбираемся с геометрической прогрессией:

Смотри, как это работает: нужно найти такое значение \(x\), при котором три числа \(x - 1\), \(2\sqrt{x}\), и \(x + 3\) образуют геометрическую прогрессию. Это значит, что отношение между соседними членами должно быть одинаковым.

1. Записываем условие геометрической прогрессии:

   \[ \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} = \frac{x + 3}{2\sqrt{x}} \]

2. Решаем уравнение:

   \[ (2\sqrt{x})^2 = (x - 1)(x + 3) \]

   \[ 4x = x^2 + 3x - x - 3 \]

   \[ 4x = x^2 + 2x - 3 \]

   \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

3. Находим корни квадратного уравнения:

   \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

   \[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

   \[ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

4. Проверяем корни:

   • Если \(x = 3\), то числа: \(3 - 1 = 2\), \(2\sqrt{3}\), \(3 + 3 = 6\). Отношение: \(\frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\), \(\frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}\). Подходит.
   • Если \(x = -1\), то \(2\sqrt{x}\) не имеет смысла, так как корень из отрицательного числа не существует.

Ответ: 3