Упростите выражение $$\left( \frac{36y}{x} - \frac{49x}{y} \right) : (6x-7y)$$.

Решение:

Приведём к общему знаменателю выражение в первой скобке:

\[ \frac{36y}{x} - \frac{49x}{y} = \frac{36y^2 - 49x^2}{xy} \]

Числитель является разностью квадратов: \( 36y^2 - 49x^2 = (6y)^2 - (7x)^2 = (6y-7x)(6y+7x) \).

Теперь выполним деление:

\[ \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy} : (6x-7y) = \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy} \cdot \frac{1}{6x-7y} \]

Заметим, что \( 6y-7x = -(7x-6y) \) и \( 6x-7y \) — разные выражения. Однако, если мы перепишем \( 6y-7x \) как \( -(7x-6y) \) и \( 6y+7x \) как \( 7x+6y \), то в числителе будет \( -(7x-6y)(7x+6y) \).

Давайте проверим условие еще раз: \( \left( \frac{36y}{x} - \frac{49x}{y} \right) : (6x-7y) \)

\( \frac{36y^2 - 49x^2}{xy} : (6x-7y) \)

\( \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy} \cdot \frac{1}{6x-7y} \)

\( \frac{-(7x-6y)(6y+7x)}{xy(6x-7y)} \)

Если предположить, что в условии была опечатка и должно быть \( (7x-6y) \), то:

\[ \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy} : (7x-6y) = \frac{-(7x-6y)(6y+7x)}{xy} \cdot \frac{1}{7x-6y} = \frac{-(6y+7x)}{xy} \]

Без этой опечатки, упрощение невозможно без дополнительных условий.

Предположим, что \( 6x-7y \) в знаменателе и \( 6y-7x \) в числителе имеют отношение. \( 6y-7x = -(7x-6y) \).

\( \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy(6x-7y)} = \frac{-(7x-6y)(6y+7x)}{xy(6x-7y)} \)

Если в задании опечатки нет, то ответ остается в таком виде:

\[ \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy(6x-7y)} \]

Если предположить, что \( 6y-7x \) и \( 6x-7y \) связаны, например, через \( y \) и \( x \) как \( y = \frac{6}{7}x \), то \( 6y-7x = 6(\frac{6}{7}x) - 7x = \frac{36}{7}x - 7x = \frac{36-49}{7}x = -\frac{13}{7}x \) и \( 6x-7y = 6x - 7(\frac{6}{7}x) = 6x-6x=0 \), что невозможно.

С учетом типичных школьных задач, скорее всего, предполагается, что \( 6y-7x \) и \( 6x-7y \) должны сокращаться. Это произойдет, если \( 6y-7x \) будет равно \( -(6x-7y) \), что не так. Или \( 6y-7x \) равно \( 6x-7y \).

Если в условии было \( 7y-6x \) вместо \( 6x-7y \), то:

\[ \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy} : (7y-6x) = \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy} \cdot \frac{1}{7y-6x} = \frac{-(7x-6y)(6y+7x)}{xy(7y-6x)} \]

Если предположить, что \( 6y-7x \) и \( 6x-7y \) каким-то образом сокращаются, например, если \( 6y-7x = -(6x-7y) \), то \( 6y-7x = -6x+7y \) \( \Rightarrow \) \( -7x = -6x \) \( \Rightarrow \) \( x=0 \), что невозможно.

Давайте перепишем \( 36y^2 - 49x^2 \) как \( -(49x^2 - 36y^2) = -(7x-6y)(7x+6y) \).

\[ \frac{-(7x-6y)(7x+6y)}{xy} : (6x-7y) = \frac{-(7x-6y)(7x+6y)}{xy(6x-7y)} \]

Наиболее вероятный вариант — опечатка в задании, и предполагается сокращение. Если бы было \( (7x-6y) \) вместо \( (6x-7y) \), то:

\[ \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy} : (7x-6y) = \frac{-(7x-6y)(6y+7x)}{xy} \cdot \frac{1}{7x-6y} = \frac{-(6y+7x)}{xy} \]

Если бы было \( -(6x-7y) \) вместо \( (6x-7y) \), то:

\[ \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy} : -(6x-7y) = \frac{-(7x-6y)(6y+7x)}{xy} \cdot \frac{1}{-(6x-7y)} = \frac{(7x-6y)(6y+7x)}{xy(6x-7y)} \]

Без предположений об опечатке, ответ:

\[ \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy(6x-7y)} \]

Если предположить, что \( 6y-7x = 6x-7y \), то \( 6y+6x = 7x+7y \) \( \Rightarrow \) \( 6(x+y)=7(x+y) \) \( \Rightarrow \) \( x+y=0 \), то есть \( y=-x \).

Подставим \( y=-x \) в \( 6y-7x \): \( 6(-x)-7x = -6x-7x = -13x \).

Подставим \( y=-x \) в \( 6x-7y \): \( 6x-7(-x) = 6x+7x = 13x \).

Тогда выражение будет:

\[ \frac{(-13x)(6(-x)+7x)}{x(-x)(13x)} = \frac{(-13x)(-6x+7x)}{-x^2(13x)} = \frac{(-13x)(x)}{-x^2(13x)} = \frac{-13x^2}{-13x^3} = \frac{1}{x} \]

Наиболее вероятный вариант — опечатка, и должно быть \( (7x-6y) \) в делителе. Тогда:

\[ \frac{36y^2 - 49x^2}{xy} : (7x-6y) = \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy(7x-6y)} = \frac{-(7x-6y)(6y+7x)}{xy(7x-6y)} = \frac{-(6y+7x)}{xy} \]

Ответ: \( \frac{-(6y+7x)}{xy} \) (при условии, что делитель равен \( 7x-6y \)). Если без предположений об опечатке, то \( \frac{(6y-7x)(6y+7x)}{xy(6x-7y)} \).