Решите систему уравнений: $$\begin{cases} (5x+3)^2 = 8y \\ (3x+5)^2 = 8y \end{cases}$$

Решение:

Так как правые части обоих уравнений равны \( 8y \), мы можем приравнять левые части:

\[ (5x+3)^2 = (3x+5)^2 \]

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить разность квадратов:

\[ (5x+3)^2 - (3x+5)^2 = 0 \]

Применим формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

\[ ((5x+3) - (3x+5))((5x+3) + (3x+5)) = 0 \]

Упростим выражения в скобках:

\[ (5x+3-3x-5)(5x+3+3x+5) = 0 \]

\[ (2x-2)(8x+8) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

1. \( 2x - 2 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 2x = 2 \) \( \Rightarrow \) \( x = 1 \).

2. \( 8x + 8 = 0 \) \( \Rightarrow \) \( 8x = -8 \) \( \Rightarrow \) \( x = -1 \).

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив найденные значения \( x \) в любое из исходных уравнений. Возьмём первое: \( (5x+3)^2 = 8y \).

Случай 1: \( x = 1 \)

\[ (5(1)+3)^2 = 8y \]

\[ (5+3)^2 = 8y \]

\[ 8^2 = 8y \]

\[ 64 = 8y \]

\[ y = \frac{64}{8} \]

\[ y = 8 \]

Первое решение: \( (1; 8) \).

Случай 2: \( x = -1 \)

\[ (5(-1)+3)^2 = 8y \]

\[ (-5+3)^2 = 8y \]

\[ (-2)^2 = 8y \]

\[ 4 = 8y \]

\[ y = \frac{4}{8} \]

\[ y = 0.5 \]

Второе решение: \( (-1; 0.5) \).

Ответ: \( (1; 8); (-1; 0.5) \).