11. Упростите числовое выражение \(\sqrt{43 - 30\sqrt{2}} + \sqrt{43 + 30\sqrt{2}}\). Ответ: 10.

Смотри, тут всё просто: чтобы упростить это выражение, нам нужно понять, что подкоренные выражения можно представить в виде полных квадратов.

Пошаговое решение:

1. Представим \(43 - 30\sqrt{2}\) как \((a - b\sqrt{2})^2\). Тогда \(a^2 + 2b^2 = 43\) и \(2ab = 30\), то есть \(ab = 15\).
2. Подберем такие числа a и b. Заметим, что \(15 = 5 \cdot 3\). Проверим: если \(a = 5\) и \(b = 3\), то \(a^2 + 2b^2 = 25 + 2 \cdot 9 = 25 + 18 = 43\). Отлично, подходит!
3. Тогда \(\sqrt{43 - 30\sqrt{2}} = \sqrt{(5 - 3\sqrt{2})^2} = |5 - 3\sqrt{2}|\). Так как \(3\sqrt{2} = \sqrt{18}\) и \(5 = \sqrt{25}\), то \(5 > 3\sqrt{2}\), значит, \(|5 - 3\sqrt{2}| = 5 - 3\sqrt{2}\).
4. Аналогично, представим \(43 + 30\sqrt{2}\) как \((a + b\sqrt{2})^2\). Тогда \(a^2 + 2b^2 = 43\) и \(2ab = 30\), то есть \(ab = 15\). Мы уже знаем, что \(a = 5\) и \(b = 3\) подходят.
5. Тогда \(\sqrt{43 + 30\sqrt{2}} = \sqrt{(5 + 3\sqrt{2})^2} = |5 + 3\sqrt{2}| = 5 + 3\sqrt{2}\).
6. Теперь сложим эти выражения: \(5 - 3\sqrt{2} + 5 + 3\sqrt{2} = 10\).

Ответ: 10