14. Вычислите \(\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} + \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}}\). Ответ: 14.

Логика такая: приведем дроби к общему знаменателю и упростим выражение.

Пошаговое решение:

1. Приведем дроби к общему знаменателю: \(\frac{1}{7 + 4\sqrt{3}} + \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} = \frac{(7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3})}{(7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3})}\).
2. Упростим числитель: \(7 - 4\sqrt{3} + 7 + 4\sqrt{3} = 14\).
3. Упростим знаменатель: \((7 + 4\sqrt{3})(7 - 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 16 \cdot 3 = 49 - 48 = 1\).
4. Тогда \(\frac{14}{1} = 14\).

Ответ: 14