4. Решите уравнение x+2/x-1+x+3/x+1=x+5/1-x² =0.

Решим уравнение $$\frac{x+2}{x-1} + \frac{x+3}{x+1} = \frac{x+5}{1-x^2}$$.

ОДЗ: $$x
e 1, x
e -1$$.

Приведем к общему знаменателю: $$\frac{(x+2)(x+1) + (x+3)(x-1)}{x^2-1} = -\frac{x+5}{x^2-1}$$.

Умножим обе части уравнения на $$x^2 - 1$$:

$$(x+2)(x+1) + (x+3)(x-1) = -(x+5)$$

Раскроем скобки: $$x^2 + x + 2x + 2 + x^2 - x + 3x - 3 = -x - 5$$

$$2x^2 + 5x - 1 = -x - 5$$

$$2x^2 + 6x + 4 = 0$$

$$x^2 + 3x + 2 = 0$$

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$

Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

$$x_1 = -1$$ не входит в ОДЗ.

Ответ: $$-2$$