3. Сократите дробь 5a² +3a-2/a²-1

Сократим дробь $$\frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1}$$.

Разложим числитель на множители. Для этого решим квадратное уравнение $$5a^2 + 3a - 2 = 0$$.

Найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$:

$$D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$$

Так как дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня:

$$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 + 7}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

$$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-3 - 7}{10} = \frac{-10}{10} = -1$$

Квадратный трехчлен раскладывается на множители по формуле $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$.

В нашем случае, $$5a^2 + 3a - 2 = 5(a - \frac{2}{5})(a + 1) = (5a - 2)(a + 1)$$.

Разложим знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов: $$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$$.

Сократим дробь: $$\frac{5a^2 + 3a - 2}{a^2 - 1} = \frac{(5a - 2)(a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{5a - 2}{a - 1}$$.

Ответ: $$\frac{5a - 2}{a - 1}$$