Решите уравнение \( (x - 2)(x^2 + 6x + 9) = 6(x + 3) \).

Решение:

1. Заметим, что \( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \).
2. Подставим это в уравнение: \( (x - 2)(x + 3)^2 = 6(x + 3) \).
3. Перенесём все члены в левую часть: \( (x - 2)(x + 3)^2 - 6(x + 3) = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( (x + 3) \): \( (x + 3)[(x - 2)(x + 3) - 6] = 0 \).
5. Раскроем скобки во второй части: \( (x + 3)[x^2 + 3x - 2x - 6 - 6] = 0 \).
6. Упростим выражение во второй части: \( (x + 3)(x^2 + x - 12) = 0 \).
7. Разложим квадратный трёхчлен \( x^2 + x - 12 \) на множители. Корни уравнения \( x^2 + x - 12 = 0 \) находятся по теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -1 \) и \( x_1 x_2 = -12 \). Это числа 3 и -4.
8. Таким образом, \( x^2 + x - 12 = (x - 3)(x + 4) \).
9. Полностью уравнение выглядит так: \( (x + 3)(x - 3)(x + 4) = 0 \).
10. Приравняем каждый множитель к нулю: \( x + 3 = 0 \) или \( x - 3 = 0 \) или \( x + 4 = 0 \).
11. Найдём корни: \( x = -3 \), \( x = 3 \), \( x = -4 \).

Ответ: x = -3, x = 3, x = -4.