Решите уравнение $$x^2 - 3x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 28$$.

Решение:

1. Вычтем \( \sqrt{6 - x} \) из обеих частей уравнения: \( x^2 - 3x = 28 \).
2. Перенесём все члены уравнения в левую часть: \( x^2 - 3x - 28 = 0 \).
3. Это квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 \).
4. Найдём корни по формуле: \( x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 11}{2} \).
5. Корни: \( x_1 = \frac{3 + 11}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) и \( x_2 = \frac{3 - 11}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \).
6. Уравнение содержит корень \( \sqrt{6 - x} \), поэтому должно выполняться условие \( 6 - x \geq 0 \), то есть \( x \leq 6 \).
7. Проверим найденные корни: \( x_1 = 7 \) не удовлетворяет условию \( x \leq 6 \). \( x_2 = -4 \) удовлетворяет условию \( x \leq 6 \).

Ответ: x = -4.