Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: Решите уравнение \( \frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{4}{x - 1} - 12 = 0 \).Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Пусть \( y = \frac{1}{x - 1} \). Тогда \( y^2 = \frac{1}{(x - 1)^2} \).
  2. Подставим \( y \) в уравнение: \( y^2 + 4y - 12 = 0 \).
  3. Это квадратное уравнение относительно \( y \). Найдём дискриминант: \( D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \).
  4. Найдём корни для \( y \): \( y = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 8}{2} \).
  5. Корни: \( y_1 = \frac{-4 + 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) и \( y_2 = \frac{-4 - 8}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \).
  6. Теперь вернёмся к \( x \), используя \( y = \frac{1}{x - 1} \):
    • Если \( y = 2 \), то \( \frac{1}{x - 1} = 2 \). Отсюда \( 1 = 2(x - 1) \), \( 1 = 2x - 2 \), \( 2x = 3 \), \( x = \frac{3}{2} \).
    • Если \( y = -6 \), то \( \frac{1}{x - 1} = -6 \). Отсюда \( 1 = -6(x - 1) \), \( 1 = -6x + 6 \), \( 6x = 5 \), \( x = \frac{5}{6} \).
  7. Проверим, что знаменатель \( x - 1 \) не равен нулю для найденных корней. \( \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} \neq 0 \) и \( \frac{5}{6} - 1 = -\frac{1}{6} \neq 0 \).

Ответ: x = \(\frac{3}{2}\), x = \(\frac{5}{6}\).