5. Прямоугольный треугольник с катетами 4 см и 6 см вращается вокруг своего меньшего катета. Найдите площадь полной поверхности полученного тела.

Ответ: 36\(\pi\) + 6\(\sqrt{52}\)\(\pi\) см²

1. Шаг 1: Определим параметры конуса.

• Радиус основания r = 6 см (больший катет).
• Высота h = 4 см (меньший катет).
• Образующая l — это гипотенуза исходного треугольника. Найдем её по теореме Пифагора:

\[l = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} \; см\]

2. Шаг 2: Вычислим площадь боковой поверхности конуса.

\[S_{бок} = \pi rl = \pi \cdot 6 \cdot \sqrt{52} = 6\sqrt{52}\pi \; см^2\]

3. Шаг 3: Вычислим площадь основания конуса.

\[S_{осн} = \pi r^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi \; см^2\]

4. Шаг 4: Вычислим площадь полной поверхности конуса.

\[S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 6\sqrt{52}\pi + 36\pi = (36 + 6\sqrt{52})\pi \; см^2\]

Ответ: (36 + 6\(\sqrt{52}\))\(\pi\) см²