6. Прямоугольный равнобедренный треугольник с катетам 6 см вращается вокруг своей оси симметрии. Найдите площадь полной поверхности полученного тела.

Ответ: (36 + 18\(\sqrt{2}\))\(\pi\) см²

1. Шаг 1: Найдем радиус основания конусов.

Т.к. треугольник равнобедренный, то ось симметрии делит гипотенузу пополам и является высотой, медианой и биссектрисой. Найдем гипотенузу:

\[c = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{2 \cdot 36} = 6\sqrt{2} \; см\]

Тогда радиус равен половине гипотенузы:

\[r = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \; см\]

2. Шаг 2: Площадь боковой поверхности конуса.

\[S_{бок} = \pi rl = \pi \cdot 3\sqrt{2} \cdot 6 = 18\sqrt{2}\pi \; см^2\]

3. Шаг 3: Найдем площадь полной поверхности тела вращения.

Т.к. получается два конуса, то полной площадью тела вращения будет сумма площадей боковых поверхностей конусов:

\[S_{полн} = 2S_{бок} = 2 \cdot 18\sqrt{2}\pi = 36\sqrt{2}\pi \; см^2\]

Ответ: 36\(\sqrt{2}\)\(\pi\) см²