Прямая проходит через середину диагонали AC параллелограмма ABCD и пересекает стороны BC и AD в точках M и K соответственно. Докажите, что четырехугольник AMCK — параллелограмм.

1. Пусть O – середина диагонали AC параллелограмма ABCD. Прямая, проходящая через O, пересекает стороны BC и AD в точках M и K соответственно. 2. Поскольку ABCD – параллелограмм, его противоположные стороны параллельны: BC || AD. Значит, KM||AC, так как точки M и K находятся на прямых BC и AD соответственно. 3. Так как O – середина диагонали AC, то AO = OC. 4. Рассмотрим треугольники AOK и COM. В этих треугольниках: AO = OC (по условию, т.к. О - середина AC). ∠KOA = ∠MOC (вертикальные углы). ∠KAO = ∠MCO (накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей AC). 5. Следовательно, треугольники AOK и COM равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). 6. Из равенства треугольников следует, что OK = OM, так как OK и OM - соответственные стороны равных треугольников. 7. Мы имеем, что O - середина AC и O - середина KM, то есть диагонали четырехугольника AMCK точкой пересечения делятся пополам. 8. Четырехугольник, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Ответ: Четырехугольник AMCK – параллелограмм, что и требовалось доказать.