2.4.14. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите его площадь.

Пусть (P) – периметр треугольника, (a) – боковая сторона, (b) – основание. Тогда: \[P = 2a + b\] В нашем случае (P = 90), (a = 25). Отсюда: \[90 = 2 \cdot 25 + b\] \[b = 90 - 50 = 40\] Теперь у нас есть стороны треугольника: (a = 25), (b = 40). Чтобы найти площадь, нам нужна высота. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, половиной основания и высотой. По теореме Пифагора: \[h^2 + (\frac{b}{2})^2 = a^2\] \[h^2 + (\frac{40}{2})^2 = 25^2\] \[h^2 + 20^2 = 625\] \[h^2 = 625 - 400 = 225\] \[h = \sqrt{225} = 15\] Теперь мы можем найти площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2} b h\] \[S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 15 = 300\] Ответ: Площадь треугольника равна 300.