4. Основания равнобокой трапеции равны 33 см и 51 см, а её диаго наль - 58 см. Найдите боковую сторону трапеции.

Пусть ABCD - равнобокая трапеция, BC = 33 см, AD = 51 см, AC = 58 см.

Проведем высоту BH к основанию AD. Так как трапеция равнобокая, то $$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{51 - 33}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ см.

Рассмотрим треугольник AHB: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$, откуда $$BH^2 = AB^2 - AH^2$$.

Рассмотрим треугольник AHD. Проведем высоту CK к основанию AD. Тогда $$AK = BC = 33$$ см. $$KD = AD - AK = 51 - 33 = 18$$ см. $$HD = AH + AK = 9 + 33 = 42$$ см. $$AC^2 = HD^2 + CK^2$$, откуда $$CK^2 = AC^2 - HD^2$$.

Так как $$BH = CK$$, то

$$AB^2 - AH^2 = AC^2 - HD^2$$

$$AB^2 = AC^2 - HD^2 + AH^2$$

$$AB^2 = 58^2 - 42^2 + 9^2$$

$$AB^2 = 3364 - 1764 + 81$$

$$AB^2 = 1600 + 81 = 1681$$

$$AB = \sqrt{1681} = 41$$ см.

Ответ: 41 см