Около правильного треугольника АВС со стороной 12 см описана окружность с центром О. 1) Найдите площадь сектора, содержащего дугу АС. 2) Какой отрезок является образом стороны ВС при повороте вокруг центра О против часовой стрелки на угол 120°?

Решение:

Правильный треугольник ABC вписан в окружность. Сторона правильного треугольника равна \( a = 12 \) см.

1) Площадь сектора, содержащего дугу АС:

Радиус описанной окружности правильного треугольника находится по формуле:

\( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \)

\( R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) см.

Центральный угол, соответствующий стороне правильного треугольника, равен \( \frac{360^{\circ}}{3} = 120^{\circ} \).

Площадь сектора вычисляется по формуле:

\( S_{сектора} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}} \)

\( S_{сектора} = \frac{\pi (4\sqrt{3})^2 \cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{\pi \cdot (16 \cdot 3) \cdot 1}{3} = \frac{48\pi}{3} = 16\pi \) см².

2) Образ стороны ВС при повороте:

При повороте вокруг центра О против часовой стрелки на угол 120°, сторона ВС перейдет в отрезок, который будет соответствовать следующей стороне треугольника, идущей против часовой стрелки от ВС. Это сторона АС.

Ответ: 1) \( 16\pi \) см²; 2) Отрезок АС.