Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A (-1;-1), B (-3; 1), С (1; 5) и D (3; 3) является прямоугольником.

Решение:

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, нам нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны, а также, что его диагонали равны. Альтернативно, можно доказать, что это параллелограмм, у которого диагонали равны, или что это параллелограмм, у которого есть прямой угол.

Найдем длины сторон:

\( AB = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

\( BC = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)

\( CD = \sqrt{(3 - 1)^2 + (3 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)

\( DA = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \)

Так как \( AB = CD \) и \( BC = DA \), четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

Теперь найдем длины диагоналей:

\( AC = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \)

\( BD = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (3 - 1)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \)

Так как диагонали \( AC = BD \), параллелограмм ABCD является прямоугольником.

Доказано.