Найдите косинус угла между векторами а и b, если векторы m = а +2b и n = 6а - b перпендикулярны, |a|=1, |b|=2.

Решение:

Дано, что векторы \( \vec{m} = \vec{a} + 2\vec{b} \) и \( \vec{n} = 6\vec{a} - \vec{b} \) перпендикулярны. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю:

\( \vec{m} \cdot \vec{n} = 0 \)

\( (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (6\vec{a} - \vec{b}) = 0 \)

Раскроем скобки:

\( 6\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + 12\vec{b} \cdot \vec{a} - 2\vec{b} \cdot \vec{b} = 0 \)

Учитывая, что \( \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2 \), \( \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2 \) и \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} \):

\( 6|\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} + 12\vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 0 \)

\( 6|\vec{a}|^2 + 11\vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 0 \)

Подставим известные значения \( |\vec{a}| = 1 \) и \( |\vec{b}| = 2 \):

\( 6(1)^2 + 11\vec{a} \cdot \vec{b} - 2(2)^2 = 0 \)

\( 6 + 11\vec{a} \cdot \vec{b} - 2(4) = 0 \)

\( 6 + 11\vec{a} \cdot \vec{b} - 8 = 0 \)

\( 11\vec{a} \cdot \vec{b} - 2 = 0 \)

\( 11\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \)

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{2}{11} \)

Скалярное произведение также определяется как: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\theta) \), где \( \theta \) — угол между векторами.

\( \frac{2}{11} = 1 \cdot 2 \cdot \cos(\theta) \)

\( \frac{2}{11} = 2 \cos(\theta) \)

\( \cos(\theta) = \frac{2}{11 \cdot 2} = \frac{1}{11} \).

Ответ: \( \frac{1}{11} \).