699 Найдите: 3 a) sin a и tg a, если cos α =; 4' 1 6) sin a и tg a, если сosQ 2 √3 в) cos а и tg a, если sin a =; г) cos a и tg a, если sin a=1 2

Ответ:

a) sin α и tg α, если cos α = 3/4

Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1

\[sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha\] \[sin^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16 - 9}{16} = \frac{7}{16}\]

\[sin \alpha = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}\]

Теперь найдем tg α:

\[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{7}}{3}\]

б) sin α и tg α, если cos α = 1/2

Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1

\[sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha\] \[sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{4 - 1}{4} = \frac{3}{4}\]

\[sin \alpha = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Теперь найдем tg α:

\[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}\]

в) cos α и tg α, если sin α = √3/2

Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1

\[cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha\] \[cos^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{4 - 3}{4} = \frac{1}{4}\]

\[cos \alpha = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\]

Теперь найдем tg α:

\[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \sqrt{3}\]

г) cos α и tg α, если sin α = 1/4

Используем основное тригонометрическое тождество: sin²α + cos²α = 1

\[cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha\] \[cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{16 - 1}{16} = \frac{15}{16}\]

\[cos \alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}\]

Теперь найдем tg α:

\[tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}}\]

Ответ:

• a) sin α = √7/4, tg α = √7/3
• б) sin α = √3/2, tg α = √3
• в) cos α = 1/2, tg α = √3
• г) cos α = √15/4, tg α = 1/√15

Ответ: sin α и tg α для каждого случая указаны выше.