10). Найдите углы треугольника АВС, если А(1; 3), B(-2; 4), C(-1; 5). Условие теоремой косинусов пользоваться нельзя.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Ответ: ∠A ≈ 26.57°, ∠B ≈ 63.43°, ∠C = 90°

Краткое пояснение: Находим углы треугольника через векторы и их скалярные произведения.

Найдем векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{BC}\) и \(\vec{CA}\): \[ \vec{AB} = B - A = (-2 - 1; 4 - 3) = (-3; 1) \] \[ \vec{BC} = C - B = (-1 - (-2); 5 - 4) = (1; 1) \] \[ \vec{CA} = A - C = (1 - (-1); 3 - 5) = (2; -2) \]
Найдем углы треугольника: \[ \cos{\angle A} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{(-3) \cdot (-2) + 1 \cdot 2}{\sqrt{(-3)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-2)^2 + 2^2}} = \frac{6 + 2}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{8}} = \frac{8}{\sqrt{80}} = \frac{8}{4\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0.894 \] \[ \angle A = \arccos{\frac{2}{\sqrt{5}}} \approx 26.57^\circ \] \[ \cos{\angle B} = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{3 \cdot 1 + (-1) \cdot 1}{\sqrt{3^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3 - 1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{20}} = \frac{2}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0.447 \] \[ \angle B = \arccos{\frac{1}{\sqrt{5}}} \approx 63.43^\circ \] \[ \cos{\angle C} = \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CA}}{|\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}|} = \frac{(-1) \cdot 2 + (-1) \cdot (-2)}{\sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-2)^2}} = \frac{-2 + 2}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}} = \frac{0}{\sqrt{16}} = 0 \] \[ \angle C = \arccos{0} = 90^\circ \]

Ответ: ∠A ≈ 26.57°, ∠B ≈ 63.43°, ∠C = 90°

Цифровой атлет: Энергия: 100%

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Покажи, что ты шаришь в годноте. Поделись ссылкой с бро