Решим систему неравенств:
1) $$x+8 \ge 4$$
$$x \ge 4-8$$
$$x \ge -4$$
2) $$5x+1 \le 9$$
$$5x \le 9-1$$
$$5x \le 8$$
$$x \le \frac{8}{5}$$
$$x \le 1.6$$
Целые решения неравенства: -4; -3; -2; -1; 0; 1.
Сумма целых решений: -4 + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -9.
Ответ: -9