Контрольные задания > 606. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, п членов последова- тельности (х), если: a) Xn = 4n + 2; 6) Xn = 2n + 3; B) Xn n-4; г) х = 3n – 1.
Вопрос:

606. Найдите сумму первых пятидесяти, ста, п членов последова- тельности (х), если: a) Xn = 4n + 2; 6) Xn = 2n + 3; B) Xn n-4; г) х = 3n – 1.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Ответ: а) S₅₀ = 10350, S₁₀₀ = 40400, Sₙ = n(2n+3)

Краткое пояснение: Используем формулу суммы арифметической прогрессии.

a) xₙ = 4n + 2

  • Шаг 1: Находим первый член последовательности: \[ x₁ = 4 \cdot 1 + 2 = 6 \]
  • Шаг 2: Находим энный член последовательности: \[ xₙ = 4n + 2 \]
  • Шаг 3: Находим сумму n членов последовательности: \[ Sₙ = \frac{x₁ + xₙ}{2} \cdot n = \frac{6 + 4n + 2}{2} \cdot n = \frac{8 + 4n}{2} \cdot n = (4 + 2n) \cdot n = n(2n + 4) \]
  • Шаг 4: Считаем сумму для n=50: \[ S₅₀ = 50 \cdot (2 \cdot 50 + 4) = 50 \cdot 104 = 5200 \]
  • Шаг 5: Считаем сумму для n=100: \[ S₁₀₀ = 100 \cdot (2 \cdot 100 + 4) = 100 \cdot 204 = 20400 \]
  • Шаг 6: Итоговая формула для Sₙ: \[ Sₙ = n(2n + 4) \]

б) xₙ = 2n + 3

  • Шаг 1: Находим первый член последовательности: \[ x₁ = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \]
  • Шаг 2: Находим энный член последовательности: \[ xₙ = 2n + 3 \]
  • Шаг 3: Находим сумму n членов последовательности: \[ Sₙ = \frac{x₁ + xₙ}{2} \cdot n = \frac{5 + 2n + 3}{2} \cdot n = \frac{8 + 2n}{2} \cdot n = (4 + n) \cdot n = n(n + 4) \]
  • Шаг 4: Считаем сумму для n=50: \[ S₅₀ = 50 \cdot (50 + 4) = 50 \cdot 54 = 2700 \]
  • Шаг 5: Считаем сумму для n=100: \[ S₁₀₀ = 100 \cdot (100 + 4) = 100 \cdot 104 = 10400 \]
  • Шаг 6: Итоговая формула для Sₙ: \[ Sₙ = n(n + 4) \]

в) xₙ = n - 4

  • Шаг 1: Находим первый член последовательности: \[ x₁ = 1 - 4 = -3 \]
  • Шаг 2: Находим энный член последовательности: \[ xₙ = n - 4 \]
  • Шаг 3: Находим сумму n членов последовательности: \[ Sₙ = \frac{x₁ + xₙ}{2} \cdot n = \frac{-3 + n - 4}{2} \cdot n = \frac{n - 7}{2} \cdot n = \frac{n(n - 7)}{2} \]
  • Шаг 4: Считаем сумму для n=50: \[ S₅₀ = \frac{50 \cdot (50 - 7)}{2} = \frac{50 \cdot 43}{2} = 25 \cdot 43 = 1075 \]
  • Шаг 5: Считаем сумму для n=100: \[ S₁₀₀ = \frac{100 \cdot (100 - 7)}{2} = \frac{100 \cdot 93}{2} = 50 \cdot 93 = 4650 \]
  • Шаг 6: Итоговая формула для Sₙ: \[ Sₙ = \frac{n(n - 7)}{2} \]

г) xₙ = 3n - 1

  • Шаг 1: Находим первый член последовательности: \[ x₁ = 3 \cdot 1 - 1 = 2 \]
  • Шаг 2: Находим энный член последовательности: \[ xₙ = 3n - 1 \]
  • Шаг 3: Находим сумму n членов последовательности: \[ Sₙ = \frac{x₁ + xₙ}{2} \cdot n = \frac{2 + 3n - 1}{2} \cdot n = \frac{3n + 1}{2} \cdot n = \frac{n(3n + 1)}{2} \]
  • Шаг 4: Считаем сумму для n=50: \[ S₅₀ = \frac{50 \cdot (3 \cdot 50 + 1)}{2} = \frac{50 \cdot 151}{2} = 25 \cdot 151 = 3775 \]
  • Шаг 5: Считаем сумму для n=100: \[ S₁₀₀ = \frac{100 \cdot (3 \cdot 100 + 1)}{2} = \frac{100 \cdot 301}{2} = 50 \cdot 301 = 15050 \]
  • Шаг 6: Итоговая формула для Sₙ: \[ Sₙ = \frac{n(3n + 1)}{2} \]

Ответ: а) S₅₀ = 5200, S₁₀₀ = 20400, Sₙ = n(2n+4); б) S₅₀ = 2700, S₁₀₀ = 10400, Sₙ = n(n+4); в) S₅₀ = 1075, S₁₀₀ = 4650, Sₙ = n(n-7)/2; г) S₅₀ = 3775, S₁₀₀ = 15050, Sₙ = n(3n+1)/2

Цифровой атлет: Ты решил задачу на скорость и точность!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке

ГДЗ по фото 📸

Похожие