1132 Найдите отношение периметров правильного треугольника и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность; б) описанных около одной и той же окружности.

а) Рассмотрим правильный треугольник и квадрат, вписанные в одну и ту же окружность радиуса R.

Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна $$a_3 = R\sqrt{3}$$. Периметр треугольника $$P_3 = 3a_3 = 3R\sqrt{3}$$.

Сторона квадрата, вписанного в окружность, равна $$a_4 = R\sqrt{2}$$. Периметр квадрата $$P_4 = 4a_4 = 4R\sqrt{2}$$.

Отношение периметров равно $$\frac{P_3}{P_4} = \frac{3R\sqrt{3}}{4R\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{3}}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{8}$$.

б) Рассмотрим правильный треугольник и квадрат, описанные около одной и той же окружности радиуса r.

Сторона правильного треугольника, описанного около окружности, равна $$b_3 = 2r\sqrt{3}$$. Периметр треугольника $$Q_3 = 3b_3 = 6r\sqrt{3}$$.

Сторона квадрата, описанного около окружности, равна $$b_4 = 2r$$. Периметр квадрата $$Q_4 = 4b_4 = 8r$$.

Отношение периметров равно $$\frac{Q_3}{Q_4} = \frac{6r\sqrt{3}}{8r} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$$.

Ответ: а) $$\frac{3\sqrt{6}}{8}$$; б) $$\frac{3\sqrt{3}}{4}$$.