1135 В круг, площадь которого равна 36π см², вписан правильный шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника и его площадь.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о правильных многоугольниках и связи между площадью круга и вписанного в него правильного шестиугольника. 1. Найдем радиус круга: Площадь круга вычисляется по формуле $$S = \pi r^2$$, где *S* - площадь, а *r* - радиус круга. В нашем случае, $$S = 36\pi$$ см². Следовательно: $$\pi r^2 = 36\pi$$ $$r^2 = 36$$ $$r = \sqrt{36} = 6$$ см Таким образом, радиус круга равен 6 см. 2. Найдем сторону правильного шестиугольника: Правильный шестиугольник, вписанный в круг, состоит из шести равносторонних треугольников, стороны которых равны радиусу круга. Следовательно, сторона шестиугольника равна радиусу круга. $$a = r = 6$$ см Сторона шестиугольника равна 6 см. 3. Найдем площадь правильного шестиугольника: Площадь правильного шестиугольника можно найти как сумму площадей шести равносторонних треугольников. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле $$S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$, где *a* - сторона треугольника. Тогда площадь шестиугольника: $$S_{6} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$ Подставим значение стороны шестиугольника $$a = 6$$ см: $$S_{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 6^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 36 = 3 \sqrt{3} \cdot 18 = 54\sqrt{3}$$ см² Площадь шестиугольника равна $$54\sqrt{3}$$ см². Ответ: Сторона шестиугольника равна 6 см, площадь шестиугольника равна $$54\sqrt{3}$$ см².