N9. Площадь между y = 2x - x^2 и осью Ox.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = 2x - x^2 \) и осью Ox, нужно сначала найти точки пересечения параболы с осью Ox. Для этого приравняем \( y \) к нулю:

\[ 2x - x^2 = 0 \]

\[ x(2 - x) = 0 \]

Отсюда \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \). Это пределы интегрирования.

Парабола \( y = 2x - x^2 \) направлена ветвями вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный), поэтому она находится над осью Ox на интервале \( (0, 2) \).

Площадь вычисляется как определённый интеграл:

\[ S = \int_0^2 (2x - x^2) dx \]

1. Найдём первообразную для \( 2x - x^2 \): \( F(x) = 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3} \).
2. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = F(2) - F(0) = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) \]

\[ S = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - 0 \]

\[ S = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} \]

\[ S = \frac{4}{3} \]

Ответ: Площадь равна \(\frac{4}{3}\).