10. Корни х₁ и х₂ уравнения x2 – 6x + q = 0 удовлетворяют равен ству 5х₁ – 2х₂ = 2. Найдите корни уравнения и свободный член q.

Для квадратного уравнения $$x^2 - 6x + q = 0$$ сумма корней равна $$x_1 + x_2 = 6$$, а произведение равно $$x_1 \cdot x_2 = q$$ (по теореме Виета).

Также известно, что $$5x_1 - 2x_2 = 2$$.

У нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными:

$$x_1 + x_2 = 6$$

$$5x_1 - 2x_2 = 2$$

Умножим первое уравнение на 2:

$$2x_1 + 2x_2 = 12$$

Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением:

$$5x_1 - 2x_2 + 2x_1 + 2x_2 = 2 + 12$$

$$7x_1 = 14$$

$$x_1 = 2$$

Подставим значение $$x_1$$ в первое уравнение:

$$2 + x_2 = 6$$

$$x_2 = 4$$

Теперь найдем q, используя произведение корней:

$$q = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 4 = 8$$

Таким образом, корни уравнения: $$x_1 = 2$$ и $$x_2 = 4$$, а свободный член $$q = 8$$.

Ответ: x₁=2; x₂=4; q=8