10. Исследуйте функцию f(x) = x* - 2x² - 3 и постройте ее график.

Ответ: Функция симметрична относительно оси Oy, минимум в точках (-1,-4) и (1,-4), максимум в точке (0,-3).

Шаг 1: Исследуем функцию \(f(x) = x^4 - 2x^2 - 3\).

• Область определения: \(x \in R\).
• Четность: \(f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 - 3 = x^4 - 2x^2 - 3 = f(x)\), значит, функция четная и симметрична относительно оси Oy.
• Нули функции: \(x^4 - 2x^2 - 3 = 0\). Пусть \(t = x^2\), тогда \(t^2 - 2t - 3 = 0\). Корни \(t_1 = 3\), \(t_2 = -1\). Значит, \(x^2 = 3\) и \(x = \pm \sqrt{3}\).
• Интервалы знакопостоянства: \(x \in (-\infty; -\sqrt{3})\) и \(x \in (\sqrt{3}; +\infty)\) функция положительна, \(x \in (-\sqrt{3}; \sqrt{3})\) функция отрицательна.

Шаг 2: Находим производную.

\[f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)\]

Шаг 3: Находим критические точки, приравняв производную к нулю.

\[4x(x^2 - 1) = 0\]

Значит, \(x = 0\), \(x = 1\), \(x = -1\).

Шаг 4: Исследуем знак производной на интервалах.

• Интервал \((-\infty; -1)\): выберем x = -2; f'(-2) = 4(-2)((-2)^2 - 1) = -8(4 - 1) = -24 < 0
• Интервал \((-1; 0)\): выберем x = -0.5; f'(-0.5) = 4(-0.5)((-0.5)^2 - 1) = -2(0.25 - 1) = 1.5 > 0
• Интервал \((0; 1)\): выберем x = 0.5; f'(0.5) = 4(0.5)((0.5)^2 - 1) = 2(0.25 - 1) = -1.5 < 0
• Интервал \((1; +\infty)\): выберем x = 2; f'(2) = 4(2)(2^2 - 1) = 8(4 - 1) = 24 > 0

Шаг 5: Определяем точки экстремума.

• x = -1: точка минимума, f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4
• x = 0: точка максимума, f(0) = 0^4 - 2(0)^2 - 3 = -3
• x = 1: точка минимума, f(1) = 1^4 - 2(1)^2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4

Шаг 6: Строим график функции.

Ответ: Функция симметрична относительно оси Oy, минимум в точках (-1,-4) и (1,-4), максимум в точке (0,-3).