843. Докажите неравенство: - a) 262 - 6b + 1 > 2b(b − 3); б) (с + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5); в) р(р + 7) > 7p - 1; г) 8у(Зу – 10) < (5y – 8)².

Ответ: см. решение

a) \(2b^2 - 6b + 1 > 2b(b - 3)\)

\(2b^2 - 6b + 1 > 2b^2 - 6b\)

\(1 > 0\) - верно, значит неравенство доказано.

б) \((c + 2)(c + 6) < (c + 3)(c + 5)\)

\(c^2 + 8c + 12 < c^2 + 8c + 15\)

\(12 < 15\) - верно, значит неравенство доказано.

в) \(p(p + 7) > 7p - 1\)

\(p^2 + 7p > 7p - 1\)

\(p^2 > -1\) - верно для любого p, кроме комплексных чисел, значит неравенство доказано.

г) \(8y(3y - 10) < (5y - 8)^2\)

\(24y^2 - 80y < 25y^2 - 80y + 64\)

\(0 < y^2 + 64\) - верно, так как \(y^2\) всегда неотрицательно, значит неравенство доказано.

Ответ: неравенства доказаны.