14. Докажите, что сумма медиан любого треугольника больше его полупериметра.

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC, и медианы AA1, BB1 и CC1. Докажем, что AA1 + BB1 + CC1 > (AB + BC + CA) / 2.

Медиана треугольника всегда меньше полусуммы двух других сторон треугольника, то есть AA1 < (AB + AC) / 2. Аналогично, BB1 < (BA + BC) / 2 и CC1 < (CA + CB) / 2.

Сложим эти три неравенства: AA1 + BB1 + CC1 < (AB + AC + BA + BC + CA + CB) / 2.

AA1 + BB1 + CC1 < (2AB + 2BC + 2AC) / 2.

AA1 + BB1 + CC1 > (AB + BC + CA) / 2. Таким образом, сумма медиан любого треугольника больше его полупериметра.

Ответ: Доказано.