16. Докажите, что расстояние между любыми двумя вершинами замкнутой ломаной не больше половины суммы длин ее звеньев.

Доказательство:

Пусть дана замкнутая ломаная A1A2...AnA1. Нужно доказать, что расстояние между любыми двумя вершинами, например, A1 и A_k, не больше половины суммы длин ее звеньев.

Рассмотрим два пути между точками A1 и A_k: по звеньям A1A2...A_k и по звеньям A1A_n...A_k. Обозначим длины этих путей как L1 и L2 соответственно. Пусть L - длина всей ломаной.

Очевидно, L1 + L2 = L.

Пусть A1A_k - расстояние между вершинами A1 и A_k. По неравенству треугольника A1A_k ≤ L1 и A1A_k ≤ L2.

Сложим эти неравенства: 2A1A_k ≤ L1 + L2, то есть 2A1A_k ≤ L.

Отсюда A1A_k ≤ L/2. Таким образом, расстояние между любыми двумя вершинами замкнутой ломаной не больше половины суммы длин ее звеньев.

Ответ: Доказано.